ルータ
ルータの機能に関して過去問(H22春AP午前問37)では、「LAN同士やLANとWANを接続して,ネットワーク層での中継処理を行う」と述べられています。また、過去問(H26春AP午前問31不正解選択肢)では、「IPアドレスを解析することによって,データを中継するか破棄するかを判断する」とあります。相手先に送るべきIPアドレスであれば、中継するのです。
ルータに関しては、「ルータとレイヤ3スイッチングハブ」の記事も参照ください。

ゲートウェイ
過去問では、ゲートウェイの機能として、「OSI基本参照モデルのトランスポート層からアプリケーション層までの階層で,プロトコル変換を行う(H23秋AP午前問35不正解選択肢)」、「互いに直接,通信ができないトランスポート層以上の二つの異なるプロトコルの翻訳作業を行い,通信ができるようにする(H26春AP午前問31不正解選択肢)」とあります。

また、意味は異なりますが、デフォルトゲートウェイという言葉は、PCのネットワークの設定において、皆さんに馴染み深いでしょう。デフォルトゲートウェイの役割として、過去問(H27春IP問49)では、次のように述べられています。
「あるネットワークに属するPCが,別のネットワークに属するサーバにデータを送信するとき,経路情報が必要である。PCが送信相手のサーバに対する特定の経路情報をもっていないときの送信先として,ある機器のIPアドレスを設定しておく」